历年真题
2024
矩阵F-范数，无穷范数，条件数
答案：
- 行范数（无穷范数）：\(\displaystyle{\left\Vert\mathbf{A}\right\Vert_{\infty}=\max\limits_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}\left\vert a_{ij} \right\vert}\)
- F-范数：\(\displaystyle{\left\Vert\mathbf{A}\right\Vert_{F}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left\vert a_{ij} \right\vert^2}}\)
- 条件数：\(\displaystyle{\text{cond}(A) = \left\Vert A\right\Vert \cdot \left\Vert A^{-1}\right\Vert}\)
笔者推荐一种神秘方法记住哪个是无穷范数，哪个是 1 范数：“1” 是竖着写的，所以是竖着对列求和，是列范数。
若相对误差为 \(0.05 \%\)，则至少有几位有效数字
解析：
我们知道，相对误差 \(\delta_r\) 和有效数字位数 \(n\) 的关系为：
- 若 \(\tilde{x}\) 有 \(n\) 位有效数字，则 \(\delta_r \le \frac{1}{2a_1} \times 10^{1-n}\)。
- 若 \(\delta_r \le \frac{1}{2(a_1+1)} \times 10^{1-n}\)，则 \(\tilde{x}\) 至少具有 \(n\) 位有效数字。
现在知道 \(\delta_r\)，要求 \(n\)，应该用第二条。注意到 \(a_1\) 可能取 \(1,2,\dots,9\) 的任何值：
解得 \(n \le 3\)。可知道至少具有 3 位有效数字。
证明：\(\frac 1n\left\Vert A\right\Vert_{\infty}\le\left\Vert A\right\Vert_{2}\le n\left\Vert A\right\Vert_{\infty}\)
证明：
根据诱导范数的定义：\(\left\Vert A\right\Vert_p = \max \left\Vert Ax\right\Vert_P, \text{where} \left\Vert x\right\Vert_p =1\)。
我们知道 \(\left\Vert Ax\right\Vert_2 \ge \left\Vert Ax\right\Vert_\infty，\left\Vert x\right\Vert_2 \le n\left\Vert x\right\Vert_\infty\)。那么：
除掉 \(\left\Vert x\right\Vert_\infty\)：
对任意 \(x\) 都成立，所以 \(\frac 1n\left\Vert A\right\Vert_{\infty}\le\left\Vert A\right\Vert_{2}\)。
另一个不等号也差不多，这次我们把 \(\left\Vert Ax\right\Vert_{\infty}\) 拆开：
除掉 \(\left\Vert x\right\Vert_2\)：
对任意 \(x\) 都成立，所以：\(\left\Vert A\right\Vert_{2} \le n \left\Vert A\right\Vert_\infty\)。
从上面的过程可以看出，证明的关键是把较大的范数用乘积不等式拆开，然后转化为对应的向量范数不等式。
注意：关于 2 范数和无穷范数的最紧界是 \(\frac{1}{\sqrt n}\left\Vert A\right\Vert_{\infty}\le\left\Vert A\right\Vert_{2}\le \sqrt n\left\Vert A\right\Vert_{\infty}\)，在资料正文中有证明，和这里的证明本质相同。
2023
已知 \(A = \begin{bmatrix}-4 & 3\\ 1 & -2\end{bmatrix}\)，则 \(\left\Vert A\right\Vert_2 = \underline{\qquad}\)，\(\left\Vert A\right\Vert_\infty = \underline{\qquad}\)，\(\text{cond}_1(A) = \underline{\qquad}\)。
答案：
- \(\left\Vert A\right\Vert_\infty = 7\)
- \(\left\Vert A\right\Vert_2\) 是最大奇异值。计算 \(A ^\dagger A = \begin{bmatrix}17 & -14 \\ -14 & 13\end{bmatrix}\)，解特征方程：\((17 - \lambda)(13 - \lambda) = 196\)，\(\lambda = 15 \pm 10\sqrt{2}\)，\(\max \sigma = \sqrt{15 + 10\sqrt{2}} = 5.3983\)。
- \(A^{-1} = \begin{bmatrix}-0.4 & -0.6 \\ -0.2 & -0.8\end{bmatrix}\)
- \(\text{cond}_1(A) = \left\Vert A\right\Vert_1\cdot \left\Vert A^{-1}\right\Vert_1 = 5 \cdot 1.4 = 7\)
近似数 \(x = 0.019870\) 有_位有效数字，绝对误差限为_，相对误差限为____。
答案：
从第一个非零数字开始数：“19870” 共 5 位有效数字。根据定理求得绝对误差限为 \(\frac{1}{2} \times 10 ^{-6}\)，相对误差限为 \(\frac{1}{2a_1} \times 10^{1 - 5} = \frac{1}{2} \times 10^{-4}\)。
利用定义直接证明：\(\frac 1n\left\Vert\mathbf{A}\right\Vert_{\infty}\le\left\Vert\mathbf{A}\right\Vert_{1}\le n\left\Vert\mathbf{A}\right\Vert_{\infty}\)
这里的“利用定义”其实存疑，可以在答疑的时候问问究竟是诱导范数定义还是行和/列和最大值定义。
诱导范数定义的证明方式与 2024 年范数证明题基本一致，将 2 范数换成 1 范数即可，留作练习。
行和/列和最大值定义的证明方式在资料正文中。