必背公式和定理

1. 求解方程的起手式：找到隔离区间。只有一个根的子区间称为根的隔离区间。所以无论如何，都要先分析函数形态，确认在端点处函数值异号，并说明区间内只有一个根。
2. 二分法精度公式：区间 \([a,b]\) 二分 \(k\) 次后区间长度是 \(\frac{1}{2^k}(b - a)\)，由于取区间中点作为结果，所以绝对误差限 \(\delta(x) = \frac{1}{2^{k+1}}(b - a)\)。由此可以得到二分次数的求法：\(2^{k+1} \ge \frac{b-a}{\delta(x)}\)。
3. 收敛性基本定理
4. 局部收敛定理
5. 牛顿迭代法公式：\(x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)。收敛阶数是二阶收敛，条件是 \(x^*\) 为单根，或 \(f'(x^*)\ne 0\)。
6. 单点弦截法公式：\(x_{k+1} = x_k - f(x_k)\frac{x_k - x_0}{f(x_k) - f(x_0)}\)。收敛速度为线性收敛。
7. 两点弦截法公式：\(x_{k+1} = x_k - f(x_k)\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}\)。在与牛顿迭代法具有同等的前提条件下，具有局部收敛性，并且收敛阶数约为 1.618。由于弦截法是两步法，它不属于不动点迭代，因此不能用不动点迭代理论证明它的收敛性。
8. 弦截法和牛顿迭代法收敛的充分条件：