历年真题
2023
\(f(x) = 0\) 的牛顿迭代法的公式为_，利用牛顿迭代法求解方程 \(x^2 − 2x + 1 = 0\)，那么其收敛阶为_。
第一空默写公式 \(x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\) 即可。第二空不能直接填二阶，因为 \(x^*=1\) 不是 \(x^2-2x+1=0\) 的单根，而是一个二重根。写出迭代函数 \(\varphi(x)\) 进行分析：
不难看出，误差 \(x_k - x^*\) 按照以 \(\frac{1}{2}\) 为公比的等比数列衰减，对应的收敛阶数为 \(p=1\)。
利用两点弦截法求 \(x^3 − 3x− 5 = 0\) 在 \(x \in [2, 3]\) 的根, 初值为 \(2.5\) 和 \(3\)，求解方式类似于牛顿迭代法, 需给出迭代法收敛的充分条件, 精确度 \(10^{−3}\)。
首先分析函数形态：\(f(x) = x^3 - 3x - 5\)，\(f'(x) = 3x^2 - 3\)，\(f''(x) = 6x\)，函数二阶连续可导。
在区间 \([2,3]\) 内，\(f''(x)\) 恒正，\(f(2)f(3) = -3 \cdot 13 < 0\)，\(f'(x) > 0\)，\(f(2.5)f''(2.5) > 0\) 且 \(f(3)f''(3)>0\)。所以弦截法一定收敛到区间内到单根。
| \(k\) | \(x_k\) | \(f(x_k)\) | \(\Delta x = f(x_k)\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 13 | \ |
| 1 | 2.5 | 3.125 | 0.1582 |
| 2 | 2.3418 | 0.8167 | 0.0560 |
| 3 | 2.2858 | 0.0855 | 0.0065 |
| 4 | 2.2792 | 0.0029 | 0.0002 |
| 5 | 2.2790 | 1e-5 | \ |
有 \(\left\vert x_5 - x_4 \right\vert = 0.0002 < 10^{-3}\)，中止迭代。求得近似解为 \(x = 2.2790\)。
2024
方程 \(x^3 - x - 1=0\) 在 \(x = 1.5\) 附近有根，给出两种迭代方式：\ (1) \(x_{k+1} = \sqrt[3]{x_k + 1}\)\ (2) \(x_{k+1} = {x_k}^3 - 1\)\ 分析两种迭代是否收敛，收敛则求出解，精确到 \(10^{-3}\)。
取 \(f(x) = x^3 - x - 1\)。
对于 (1)，我们试图说明其收敛：\(\varphi_1(x) = \sqrt[3]{x+1}\)，\(\varphi_1'(x) = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}}\)。我们取隔离区间为 \([1,2]\)，因为 \(f(1) < 0,f(2) > 0\)，而且在 \([1,2]\) 内 \(\varphi(x)\) 连续可导，且有：
- 映内性：\(\varphi_1(x) \ge \varphi_1(1) > 1, \varphi_1(x) \le \varphi_1(2) < 2\)
- 压缩性：\(\varphi_1'(x) \le \varphi_1'(1) = \frac{1}{3(\sqrt[3]{2})^2} < 1\)
所以 \(x_{k+1} = \sqrt[3]{x + 1}\) 必然收敛到 \([1,2]\) 上的唯一单根。
对于 (2)，我们试说明其发散。由于 \(x\ge 1.5\) 时，\(x^3-1 > x\)，所以 \(x_k \ge 1.5, x_{k+1}>x_k\)。那么有：\(\frac{x_k^3-1}{x_k} \ge 1.25\)，则 \(x_k \ge 1.25^k x_0\)，易知迭代发散。
最后迭代求解 (1) 式：
| \(k\) | \(x_k\) | \(f(x_k)\) |
|---|---|---|
| 0 | 1.5 | 0.875 |
| 1 | 1.3572 | 0.1428 |
| 2 | 1.3309 | 0.0263 |
| 3 | 1.3259 | 0.0050 |
| 4 | 1.3249 | 0.0009 |
| 5 | 1.3247 | 0.0002 |
\(\left\vert x_5 - x_4 \right\vert < 10^{-3}\)，迭代中止，近似解为 \(x=1.3247\)。
两点弦截法，\(3x^3+2x^2+5x-6=0\)，区间为 \([0,2]\)，证明充分条件并在初值 1.5 和 2 下计算精度为 \(10^{-3}\) 的解。
同样的，我们先分析函数形态：\(f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 5x - 6\)，\(f'(x) = 9x^2 + 4x + 5\)，\(f''(x) = 18x + 4\)。那么：
- 在 \([0,2]\) 内：\(f(0)<0,f(2)>0\)；
- \(f'(x) > 0\)，\(f''(x) > 0\)；
- 初值处：\(f(1.5)f''(1.5)>0,f(2)f''(2)>0\)。
满足收敛的充分条件。然后迭代求解：
| \(k\) | \(x_k\) | \(f(x_k)\) | \(\Delta x = f(x_k)\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 36 | \ |
| 1 | 1.5 | 16.125 | 0.4057 |
| 2 | 1.0943 | 5.7985 | 0.2278 |
| 3 | 0.8666 | 1.7867 | 0.1014 |
| 4 | 0.7651 | 0.3399 | 0.0238 |
| 5 | 0.7413 | 0.0272 | 0.0020 |
| 6 | 0.7392 | 0.0005 | 3e-5 |
| 7 | 0.7392 | \ | \ |
\(\left\vert x_7 - x_6 \right\vert\) 小于 \(10^{-3}\)，迭代中止，近似解为 \(x = 0.7392\)。
格式上的注意：事实上，书写迭代法过程中，只有前两列 \(k,x_k\) 是必要的。但是笔者强烈推荐将函数值 \(f(x)\) 以及与 \(\varphi(x_k)\) 计算相关的中间步骤写出来，可以显著的提高正确率，并检验函数值是不是真的收敛到 0 了。