误差分析

说明：这里给出可能要记的内容，证明请自行查阅ppt

适定问题：重要，近两年都考了
1. 存在解
2. 解是唯一的
3. 解连续的取决于初边值条件
不适定问题：不满足上述任意一条
病态问题：
1. 输出结果对输入数据敏感，即输入数据中微小的误差可能引起结果的较大变化
2. 一般用条件数衡量问题都病态指标，条件数越大，问题病态程度越重
3. 当问题表达成 \(Ax=b\) 时，该问题的条件数就是 \(A\) 的最大与最小特征值的壁纸，条件数大时称为ill-conditioned,条件数小时称为well-conditioned
不适定问题都是病态的，适定问题也可能是病态的

定义：\(\text{cond}(A) = \left\Vert A\right\Vert \cdot \left\Vert A^{-1} \right\Vert\)，是衡量问题病态程度的指标。
常用类型：
\(\text{cond}_\infty(A) = \left\Vert A\right\Vert_\infty \cdot \left\Vert A^{-1} \right\Vert_\infty\)
\(\text{cond}_2(A) = \left\Vert A\right\Vert_2 \cdot \left\Vert A^{-1} \right\Vert_2 = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}\)
性质：
对任意非奇异矩阵 \(A\) : \(\text{cond}(A) \ge 1\)
对任意非奇异矩阵 \(A\) :\(\text{cond}(A) = \text{cond}(A^{-1})\)
对任意非奇异矩阵 \(A\)，且\(k\not = 0\) :\(\text{cond}(kA) = \text{cond}(A)\)
如果 \(A\) 为非奇异阵，\(U\) 为正交阵，则：\(\text{cond}_2(A) = \text{cond}_2(UA)=\text{cond}_2(AU)\)，\(\text{cond}_2(U)=1\)
如果 \(A\) 是对称矩阵，那么：\(\text{cond}_2(A) = \frac{\left\vert \lambda_\max \right\vert}{\left\vert \lambda_\min \right\vert}\)。

仅 \(b\) 有扰动（\(\delta A = 0\)）： \(\frac{\left\Vert \delta x \right\Vert}{\left\Vert x\right\Vert} \le \text{cond}(A) \cdot \frac{\left\Vert \delta b \right\Vert}{\left\Vert b\right\Vert}\)
仅 \(A\) 有扰动（\(\delta b = 0\)）： \(\frac{\left\Vert \delta x \right\Vert}{\left\Vert x\right\Vert} \le \text{cond}(A) \cdot \frac{\left\Vert \delta A \right\Vert}{\left\Vert A\right\Vert}\)
即分析 \(A，b\) 出现扰动时 \(x\) 可出现其多少倍的的相对变化在实际中，可通过求解过程直观的判断方程组的病态特征
若在主元素消元过程中出现小主元，则 \(A\) 可能是病态阵，但病态阵未必一定有这种小主元。
系数矩阵的行列式的值相对来说很小，则 \(A\) 有可能是病态阵。
从矩阵本身来看，若元素间数量级很大且无一定规律，或者矩阵的某些行（列）近似线性相关，这样的矩阵有可能是病态的。
如果 \(A\) 的最大奇异值和最小奇异值之比较大，则 \(A\) 有可能是病态的。