历年真题

2023.4

对任意初始向量 $x^{(0)}$ ,由 $x^{(k+1)} = Bx^{(k)} +f$ 可求得向量序列 ${\{x^{(k)}\}}^{\infty}_0$,若__，则 $x^*$ 是方程的解

答案：$\lim\limits_{k\rightarrow \infty} x^{(k)}=x^*$

2023.5

$Ax=b$ 则高斯-赛德尔迭代法迭代公式的矩阵形式为__

\[ x^{(k+1)} = (D - L)^{-1} \left( b + U x^{(k)} \right) \]

2023.6

适定问题的三个条件

解存在、解是唯一的、解连续的取决于初边值条件。

2023.7

设由 $n$ 阶方程组 $x=Bx+f$ ，$\rho (x)$ 为 $B$ 的谱半径，称 $R(b)$ =____为迭代法的收敛速度。

\[ R(B)=-\ln\rho (B) \]

2023.二.2

设方程组：$\begin{cases} 3x_1 - x_2 = 3 \\ x_1 - 2x_2 = -4 \end{cases}$
（1）写出求解上处方程组的雅可比迭代法的迭代公式
（2）讨论雅可比迭代法解此方程组的收敛性

答案：将矩阵 $A$ 分解为 $A = D - L - U$，其中： $$ D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & -2 \end{pmatrix} , L = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ -1 & 0 \end{pmatrix} , U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

雅可比迭代法的矩阵形式为：

\[ \mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left[ b + (L+U) \mathbf{x}^{(k)} \right] \]

代入具体矩阵：

\[ \mathbf{x}^{(k+1)} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \left[ \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x}^{(k)} \right] \]

分量形式由原方程组推导：

\[ \begin{cases} x_1^{(k+1)} = \dfrac{3 + x_2^{(k)}}{3} \\ x_2^{(k+1)} = \dfrac{x_1^{(k)} + 4}{2} \end{cases} \]

收敛性分析

雅可比迭代矩阵为：

\[ B_J = D^{-1}(L+U) = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \]

计算特征值： $$ \det(\lambda I - B_J) = \det \begin{pmatrix} \lambda & -\frac{1}{3} \ -\frac{1}{2} & \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \frac{1}{6} = 0 $$

解得： $$ \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} $$

谱半径： $$ \rho(B_J) = \frac{1}{\sqrt{6}} < 1 $$

结论：由于雅可比迭代矩阵的谱半径小于 1，因此雅可比迭代法对该方程组收敛。

2024.一.3

适定性问题的三个条件：解存在，解是唯一的，解连续的取决于初边值条件

2024.三.2

证明矩阵谱半径小于等于其任意范数

证明： 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$，$\rho(A)$ 为谱半径，$\left\Vert \cdot \right\Vert$ 为任意矩阵范数（与某个向量范数相容）。

设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意特征值，$x \ne 0$ 是对应的特征向量，满足： $$ A x= \lambda x $$

对等式两边取向量范数： $$ \left\Vert A x\right\Vert_v = \left\Vert \lambda x \right\Vert_v = \left\vert \lambda \right\vert \cdot \left\Vert x\right\Vert_v $$

由矩阵范数的相容性： $$ \left\Vert A x\right\Vert_v \le \left\Vert A\right\Vert \cdot \left\Vert x\right\Vert_v $$

结合上述两式： $$ \left\vert \lambda \right\vert \cdot \left\Vert x\right\Vert_v \le \left\Vert A\right\Vert \cdot \left\Vert x\right\Vert_v $$ 由于 $x \ne 0$，$\left\Vert x\right\Vert_v > 0$，两边除以 $\left\Vert x\right\Vert_v$： $$ \left\vert \lambda \right\vert \le \left\Vert A\right\Vert $$

这对 $A$ 的所有特征值都成立，因此： $$ \rho(A) = \max \left\vert \lambda \right\vert \le \left\Vert A\right\Vert $$

证毕。