概念总览

• 插值：构造插值函数 \(P_{n}(x) = a_{0}+a_{1}x+\dots+a_{n}x^n\), 使得 \(P_{n}(x_{i})=y_{i}\)：

\(\qquad\) 性质：存在唯一性

• 逼近（以连续型为例，离散型类似）：构造一个 \(p(x)\)，使得 \(p(x)\) 与 \(f(x)\) 的误差在某种度量意义下最小。常见的两种度量：

\(\qquad\) 一致逼近：以 \(f(x)\) 与 \(p(x)\) 的最大误差

$$ \qquad \qquad \left\Vert p-f\right\Vert {\infty}=\max\left\vert p(x)-f(x) \right\vert $$

\(\qquad\) 作为度量。

\(\qquad\) 若 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left\Vert p_{n}(x)-f(x)\right\Vert _{\infty}=0\)，

\(\qquad\) 则 \(\{p_{n}(x)\}\) 在 \([a,b]\) 内一致收敛到 \(f(x)\) , 其为对 \(f(x)\) 的一致逼近。

\(\qquad\) 平方逼近：以积分

$$ \qquad \qquad \left\Vert p-f\right\Vert {2}^2 = \int^{b{(p(x)-f(x))}2} $$

\(\qquad\) 作为度量。

\(\qquad\) 若 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert p_{n}(x)-f(x)\right\Vert _{2}^2=0\)，

\(\qquad\) 则 \(\{p_{n}(x)\}\) 在 \([a,b]\) 内一致收敛到 \(f(x)\)，其为对 \(f(x)\) 的平方逼近。

• 权函数：

• 内积：

$$ (f,g)=\begin{cases} \displaystyle\int_a^b\rho(x)f(x)g(x)dx&,\text{连续区间}\ \displaystyle\sum^m_{i=0}\omega_if(x_i)g(x_i)&,\text{离散节点} \end{cases} $$

性质： 1. \((f,g)=(g,f)\) 2. \((c_1f+c_2g,h)=c_1(f,h)+c_2(g,h)\) 3. \((f,f)\geq0\)，当且仅当 \(f\equiv0\) 时，\((f,f)=0\)

• 正交：\((f,g)=0\)

• 正交函数系：\(\{\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)\}\), 其中 \(\varphi_i(x)\) 是 \([a,b]\) 内的连续函数，若

$$ (\varphi_k(x),\varphi_j(x))=\begin{cases} 0,&k\neq j\ A_j >0,&k=j \end{cases} $$ 由此也可以得出正交多项式系的类似定义