拉格朗日插值

• 余项定理

性质： 1. \(R_{n}(x)\) 与 \(f\) 的联系更紧密 2. 余项定理对所有插值均成立

• 拉格朗日插值

$$ L_{n}(x)=\sum_{i=0}^ny_{i}l_{i}(x) $$

其中，\(l_{i}(x)=\prod_{j=0,j\not=i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\), 即：

$$ L_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n\left(\prod_{j=0,j\not=i}}n\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\right)y_{i} $$

插值余项 \(R_{n}(x)=f(x)-L_{n}(x)\), 也称误差

• 误差估计

事后误差估计：设有三个插值点 \(x_0,x_1,x_2\), 分别用 \(x_0,x_1\) 和 \(x_0,x_2\) 插值，得到 \(L_1(x)\) 和 \(\overline{L_1}(x)\)，则 \(\left\vert f(x)-L_{1}(x) \right\vert\leq \left\vert \frac{x-x_1}{x_1-x_2}\right\vert \cdot \left\vert L_1(x)-\overline{L_1}(x) \right\vert\)

拉格朗日插值的缺点：高次时会出现龙格现象

例题1：【课件原题】

例题2：【课件原题】