分段线性插值

\[ S_1(x)=\sum_{i=0}^nl_i(x)y_i \]

是在区间[a,b]内的每一个小区间\([x_i,x_{i+1}]\)内的线性插值函数，其在\([x_i,x_{i+1}]\)内的表达式为：

\[ S_1^{(i)}(x)=l_i(x)y_i+l_{i+1}(x)y_{i+1}=\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}y_i+\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}y_{i+1} \]

性质： 1. 局部非零性：\(l_i(x)\) 只在 \(x_i\) 附近不为 0。 2. 只和相邻的点有关，和更远的点无关，导致信息缺失

误差估计：

\[ \left\vert R(x) \right\vert=\left\vert f(x)-S_1(x) \right\vert\leq\frac{h^2}{8}M \]

其中 \(h=\max\limits_{0\leq i\leq n-1}\left\vert x_{i+1}-x_i \right\vert , M=\max\limits_{a\leq x\leq b}\left\vert f^{''}(x) \right\vert\)。

例题3：【课件原题】