牛顿插值

差商：

差商表：

牛顿插值：

\[ N_n(x)=f(x_0)+f(x_0,x_1)(x-x_0)+……+f(x_0,x_1,……,x_n)(x-x_0)(x-x_1)……(x-x_{n-1}) \]

例题4：【2023真题回忆版】 已知：

\(x\)	2	4	6	8
\(f(x)\)	5	9	11	15

试用牛顿插值公式二次插值求解 \(f(4.5)\) (需要构造差商表)

解： 因为二次牛顿插值只需要三个数据点，不妨就取离目标4.5最近的三个点（即前三个）使用。先列差商表：

\(k\)	\(x_k\)	\(f(x_k)\)	一阶差商	二阶差商
0	2	5
1	4	9	2
2	6	11	1	\(-\frac{1}{4}\)

\(f(x_0,x_1)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=2\)

\(f(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=1\)

\(f(x_0,x_1,x_2)=\frac{f(x_1,x_2)-f(x_0,x_1)}{x_2-x_0}=-\frac{1}{4}\)

所以，

\[ \begin{aligned} N_2(x)&=f(x_0)+f(x_0,x_1)(x-x_0)+f(x_0,x_1,x_2)(x-x_0)(x-x_1)\\ &=5+2(x-2)-\frac{1}{4}(x-2)(x-4)\\ &=-\frac{1}{4}x^2+\frac{7}{2}x-1 \end{aligned} \]

所以 \(f(4.5)=N_2(4.5)=9.6875\)。