最佳平方逼近
希尔伯特矩阵：
若取 \(\varphi_k(x)=x^k\)，则 \((\varphi_i,\varphi_j)=\frac{1}{i+j+1}\)。此时记 \(G_n\) 为 \(H_n\)，则：
定义：
具有存在唯一性。
求解方法
核心：解法方程
\[
\sum^n_{j=0}(\varphi_j(x),\varphi_k(x))a_j=(f(x),\varphi_k(x))\quad k=0,1,\dots,n
\]
常见一般情况：
\[
\begin{aligned}
\varphi_k(x)&=x^k,f(x)\in C[a,b]\\
\rho(x)&=1,\Phi=\text{span}\{1,x,x^2,……,x^n\}
\end{aligned}
\]
此时，要求解的 \(P^*_n(x)=a^*_0+a^*_1x+…+a^*_nx^n\)。设：
\[
\begin{aligned}
d_k&=\int_a^bf(x)x^k\mathrm dx=(f,\varphi_k) \\h_{ij}&=\int_a^b\varphi_i(x)\varphi_j(x)\mathrm dx=(\varphi_i,\varphi_j)
\end{aligned}
\]
则只需求解方程：
\[
\pmb{H_na=d}
\]
解得的 \(\pmb a\) 即为 \(\pmb a^*=(a_1^*,a^*_2,\dots,a^*_n)\), 由此得到 \(P^*_n(x)\)。
特殊情况一：\({\Phi=\text{span}\{\phi_0,\dots,\phi_n\}}\) 为正交基。此时：
\[
a^*_k=\frac{(f,\varphi_k)}{(\varphi_k,\varphi_k)}=\frac{(f,\varphi_k)}{\left\Vert \varphi_k\right\Vert ^2_2}
\]
由此得到\(P^*_n(x)\)。
特殊情况二：在离散意义下的最佳平方逼近
已知节点\((x_i,y_i), \quad i=1,2,\dots,n\)。矩阵方程变为：
其余步骤类似。
例题9：【2024真题回忆版】 求解\(e^x\) 的最佳平方逼近多项式，空间是 \(\text{span}\{1,x\}\)。
解：（因为是回忆版，条件不完整，缺少一个区间，这里以[0,1]为例）
适用情况一 ，
\[
\begin{aligned}
d_0&=\int_0^1e^x\mathrm dx=e-1 \\
d_1&=\int_0^1 e^x\cdot x\mathrm dx=1 \\
\pmb d&=\begin{pmatrix}
e-1\\
1
\end{pmatrix} \\
h_{11}&=\int_0^1\mathrm dx=1 \\
h_{12}&=h_{21}=\int_0^1x\mathrm dx=\frac{1}{2} \\
h_{22}&=\int_0^1x^2\mathrm dx=\frac{1}{3} \\
H_2&=\begin{pmatrix}
1&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{3}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
解 \(\pmb{H_2a=d}\) 得：
\[
a_0^*=4e-10,a_1^*=6(3-e)
\]
所以 \(P_n^*(x)=a_0^*+a_1^*x=4e-10+6(3-e)x\)。
例题10：【课件原题】
