凸集和凸函数

• 填空题：23年涉及了不少必须要了解知识点概念才能做的填空题，编者在每一个板块都把涉及到的所有概念列举了出来。
• 计算题：连续两年都涉及到了黄金分割求最小值。编者猜测今年大概率会出二分法求最小值。
• 证明题：必会出凸函数、凸集相关的证明，并且都是通过定义去证明。

常见凸集

• 超平面：\(H=\{p^Tx=\alpha\}\), 可以认为是超越二维的平面
• 闭半空间：\(H^-=\{p^Tx \leq \alpha\}\) 或 \(H^-=\{p^Tx \geq \alpha\}\) 超平面某侧(包络超平面本身)
• 开半空间：\(H^-_{0}=\{p^Tx<\alpha\}\)或\(H^-_{0}=\{p^Tx>\alpha\}\) 超平面某侧(不包括超平面本身)

凸集的性质

• 两个凸集的交集是凸集
• 两个凸集的和 \(D_{1}+D_{2}=\{x+y\ \mid \ x \in D_{1},y\in D_{2} \}\) 是凸集
• 两个凸集的差 \(D_{1}-D_{2}=\{x-y\ \mid \ x \in D_{1},y\in D_{2} \}\) 是凸集
• 对于任意非零实数 \(\alpha\)，集合 \(\alpha D_{1}=\{\alpha x \ \mid \ x \in D_{1}\}\) 是凸集

定理：\(D\in \mathbf{R}^n\) 是凸集的充要条件是 \(D\) 中任意 \(m\) 个点 \(x^{(i)}(i=1,2,\dots,m)\) 的凸组合仍属于 \(D\)

\[ \sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}x^{(i)}\in D, \alpha_{i}\geq 0(i=1,2,\dots ,m),\sum_{i=1}^m\alpha_{i}=1 \]

PS:超平面的分离和严格分离、投影定理

凸函数

概念：凸函数与严格凸函数（是否取等）

凸函数的性质

个人认为这些偏向数学原理的部分简单记住就好。同时注意 Hessen 矩阵的正定与半正定和严格凸函数之间的关系——函数严格凸是只能证明 Hessen 矩阵半正定而不是正定。